Теория электрических цепей

Тема 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод анализа | назад | оглавление | вперёд |

6.2. Классический метод расчета переходных процессов

В основе классического метода расчета переходных процессов в электрических цепях лежит составление интегрально-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляются на основе законов Кирхгофа, методов контурных токов, узловых напряжений и могут содержать как независимые, так и зависимые переменные. Для удобства решения обычно принято составлять дифференциальные уравнения относительно независимой переменной, в качестве которой может служить iL или uC. Решение полученных дифференциальных уравнений относительно выбранной переменной и составляет сущность классического метода.

Учитывая, что в ряде случаев решение дифференциальных уравнений проще интегрально-дифференциальных, полученную систему сводят к одному дифференциальному уравнению соответствующего порядка относительно выбранной независимой переменной iL или uC. Порядок дифференциального уравнения определяется числом независимых накопителей энергии электрического и магнитного полей.

Обозначим независимую переменную (iL или uC) через x = x(t).

Дифференциальное уравнение m-гo порядка, описывающее переходный процесс в электрической цепи, находящейся под воздействием источника w(t), описывается уравнением:
(6.3)
где b0, b1, ..., bm–1, bm — коэффициенты параметров цепи; w(t) — функция, описывающая характер воздействия на цепь.

Цепь, параметры которой b0, b1, ..., bm–1, bm – неизменны, называют цепью с постоянными параметрами. Если же какой-либо из коэффициентов b0, b1, ..., bm–1, bm — переменен, то цепь называют параметрической. В дальнейшем будем рассматривать цепи с постоянными параметрами.

Дифференциальное уравнение (6.3) относится к линейным неоднородным уравнениям m-го порядка. Как известно, его решение находится как сумма общего решения xсв однородного дифференциального уравнения m-го порядка:
(6.4)
и частного решения xпр уравнения (6.3):
(6.4)
где xсв и xпр — общее и частное решения. Общее решение xсв определяет свободные процессы, которые протекают в цепи без участия источника w(t) (отсюда индекс "св"). Частное решение xпр определяет принудительный процесс (отсюда индекс "пр"), который протекает в цепи под влиянием w(t). В теории цепей xпр обычно находят одним из ранее рассмотренных методов расчета цепей в установившемся режиме.

Свободная составляющая переходного процесса xсв будет зависеть от характера корней характеристического уравнения:
(6.6)

В случае, когда корни p1, p2, ..., рm характеристического уравнения (6.6) вещественные и различные, решение (6.4) имеет вид
(6.7)
где A1, A2, ..., Am — постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.

В случае, когда корни уравнения (6.6) вещественные и равные, т. е. p1 = p2 = ... = рm = p, свободная составляющая определяется уравнением
(6.8)

Представляет практический интерес и случай, когда корни попарно комплексно-сопряженные рk,k–1 = —a ± jс. При этом в формуле (6.7) соответствующая пара корней рk,k–1 заменяется слагаемыми вида
(6.9)
где A, — постоянные интегрирования, определяемые также из начальных условий.

назад | оглавление | вперёд